逆行列は数学の重要な概念であり、特に線形代数において頻繁に使用されます。この記事では、逆行列の定義、性質、そして求め方について解説します。🚀
逆行列の定義
逆行列とは、ある行列 \( A \) に対して、\( A \cdot A^{-1} = I \) を満たす行列 \( A^{-1} \) のことです。ここで、\( I \) は単位行列と呼ばれ、対角成分がすべて 1 となる行列です。例えば、以下のようになります：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
「逆行列があれば、行列の作用を元に戻せる！」✨
逆行列を求める方法
逆行列を求める方法には主に2つのアプローチがあります：
- **掃き出し法**
- **余因子展開**
1. 掃き出し法
掃き出し法では、行列を変形して行列の単位化を行います。具体的には、以下のステップを踏みます：
- 行列 \( A \) と単位行列 \( I \)を並べた行列を作成します。
- 行の操作を使って、左側の行列を単位行列に変形します。
- 右側の行列が逆行列になります。
2. 余因子展開
余因子展開を用いる場合、次の公式を使います：
$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $$
ここで、\( \det(A) \) は行列の行列式で、\( \text{adj}(A) \) は余因子行列です。
「行列が正則であれば逆行列は存在する。」🔑
具体的な例
例えば、行列：
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
の逆行列を求めるとします。行列式は：
$$ \det(A) = 2 \cdot 2 – 3 \cdot 1 = 1 $$
余因子行列は：
$$ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$
このため、逆行列は：
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$
