期待値の求め方

期待値（きたいち）とは、ある試行の結果として得られる数値の平均値です。この値は、確率変数が取り得る値とその確率によって重み付けされた値の和として計算されます。今回は、期待値の基本的な求め方と関連する例について詳しく説明していきます。

期待値の定義

期待値は確率論における重要な概念で、次のように定義されます。もし、確率変数 \( X \) が値を \( x_1, x_2, \ldots, x_n \)、それに対応する確率を \( p_1, p_2, \ldots, p_n \) とした場合、期待値は次の式で表されます：

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]

期待値を求めるための基本的なステップを以下に示します：

6面のサイコロを例に考えてみましょう。この場合、取り得る値は {1, 2, 3, 4, 5, 6} で、各目が出る確率はすべて \( \frac{1}{6} \) です。期待値は次のように計算できます：

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \]

計算すると：

\[ E(X) = \frac{21}{6} = 3.5 \]

期待値にはいくつかの重要な性質があります。たとえば：

線形性: 2つの独立な確率変数 \( X \) と \( Y \) の期待値に対して、次のように成り立ちます。
\[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) \]
反比例関係: 確率変数が定数 \( c \) で掛けられた場合、期待値は次のように変化します。
\[ E(cX) = c \cdot E(X) \]