導関数の求め方

微分学の重要なトピックの一つである導関数について、その定義と計算方法を詳しく解説します。💡

1. 導関数とは？

導関数とは、ある関数の変化率を示すものであり、数学的には次のように定義されます。
例えば、関数 f(x) の導関数 f'(x) は、次の極限で表されます：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$

⏳「導関数を求めることは、関数のグラフの傾きを知るためのキーです！」

2. 導関数の求め方

導関数の求め方は主に以下の手順で進めます。

1. 関数 \( f(x) \) を選定する。
2. 定義に従い、極限を計算する。
3. 得られた式を簡略化する。

では、具体的な例を見てみましょう。

3. 具体例：多項式の導関数

関数 \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) の導関数を求めます。

まずは定義を使って求めましょう:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 + 3(x+h) + 2 – (x^2 + 3x + 2)}{h}$

この式を展開し、簡略化します：

“`plaintext = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h + 2) – (x^2 + 3x + 2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 + 3h}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h + 3) “`

したがって、

$f'(x) = 2x + 3$

4. グラフで理解する

導関数はグラフでも視覚的に理解可能です。以下に、元の関数とその導関数のグラフを描いてみました。

5. 導関数を求める際のヒント📝

まとめ

導関数は、関数の特性を理解する上で非常に重要な概念です。是非、色々な関数で自分自身で導関数を求めてみましょう！⤴️