固有値の求め方 – 線形代数入門

固有値は、行列の特性を表す非常に重要な概念です。行列の固有値と固有ベクトルは、線形代数での基本的なテーマの一つです。このガイドでは、固有値の求め方と具体的な計算手順を解説します。🤓

1. 固有値の定義

まず、固有値の定義から始めましょう。固有値は、次のように定義されます。行列Aに対して、スカラー値λが以下の方程式を満たすとき、λはAの固有値です：

A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}

固有値を求める一般的な手順は以下の通りです：

行列Aの特性多項式は、次のように表されます：

P(\lambda) = \det(\lambda I - A)

ここで、\(I\) は単位行列です。固有値λを求めるためには、この方程式の解を見つける必要があります。・まず、行列\((\lambda I – A)\)を計算し、次にその行列式を求めます。

それでは、具体的な例題を見てみましょう。

行列Aが次のように与えられているとします：

A = \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}

この行列の固有値を求めるために、特性方程式を立てます：

\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix}
\lambda - 4 & -1 \\
-2 & \lambda - 3
\end{pmatrix} = 0

行列の行列式を計算すると：

(\lambda - 4)(\lambda - 3) - (1)(2) = 0

これを展開・整理すると：

\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0

この二次方程式を解くと、固有値は：

\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2

次に、固有値を用いて固有ベクトルを求めます。各固有値に対する固有ベクトル \(\boldsymbol{p}\)は、次の連立方程式を解くことで得られます：

(A - \lambda I)\boldsymbol{p} = \boldsymbol{0}

固有値と固有ベクトルは、線形代数の中で非常に重要なテーマです。具体的な計算方法を知ることで、これらの概念をより深く理解できるようになります。💡

「固有値を知ることは、新しい数学の扉を開く鍵です！」